Chalmers får fem anslag inom Sveriges största satsning på matematiker

Chalmers och Göteborgs universitet får 5 av de 17 anslag som Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse och Kungliga Vetenskapsakademien nu delar ut för att stärka den matematiska forskningen i Sverige. Anslagen ska användas till att finansiera tjänster för gästprofessorer och forskare som har doktorerat.

Målet med satsningen är att Sverige ska återta en internationell tätposition inom matematikområdet. Totalt satsas närmare 200 miljoner kronor under en sexårsperiod. Pengarna går till ett forskningsprogram som dels ger de bästa unga forskarna i Sverige internationell erfarenhet, och som dels gör det möjligt att rekrytera såväl unga som mer erfarna matematiker till Sverige.

De fem personerna som får anslag för Chalmers och Göteborgs universitets räkning är:

• Professor Mattias Jonsson, University of Michigan, som blir gästprofessor vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.
• Professor Bo Berndtsson, doktor Klas Modin och professor Hjalmar Rosengren vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet, som får medel till postdoktorala tjänster för forskare från utlandet.
• Doktor Oscar Marmon vid Chalmers, som får en postdoktoral tjänst vid Köpenhamns universitet och stöd under två år efter återvändandet till Sverige.

Läs mer om forskningen nedan.

Abstrakta metoder i matematisk fysik

Mattias Jonsson är för närvarande professor vid University of Michigan, Ann Arbor, USA. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, vara gästprofessor vid Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Lösningar av polynomekvationer kan även presenteras som geometriska former. Algebraisk geometri är en gren av matematiken som studerar sådana geometriska objekt. De kallas algebraiska varietéer. Mattias Jonsson ska ansluta till gruppen i Göteborg som tillämpar metoder från matematisk analys på komplexa algebraiska varietéer. Gruppens forskning är delvis motiverad av frågor sprungna ur Einsteins allmänna relativitetsteori. Den är också nära kopplad till vidare utforskning av den berömda Yau-Tian-Donaldsonförmodan.

Mattias Jonsson är expert på ett område på gränsen mellan matematisk analys och algebraisk geometri, icke-arkimedisk geometri, som utvecklats under det senaste halvseklet. I den icke-arkimediska geometrin är de välbekanta reella eller komplexa talen utbytta mot abstrakta objekt kallade icke-arkimediska kroppar.

Det finns tecken på att den icke-arkimediska geometrin framgångsrikt kan användas i några av de mest centrala delarna av den komplexa geometrin som är nära förknippade med relativitetsteorin. Speciellt knyts stora hopp till att kombinera metoder från icke-arkimedisk geometri med metoder från komplex analys för att hantera den välkända Kontsevich-Soibelmanförmodan, som är nära kopplad till den teoretiska fysikens strängteori.

Konvex på mer abstrakta sätt

Bo Berndtsson får anslag av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst, för att rekrytera en forskare från utlandet till gruppen för komplex analys i flera variabler vid institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Att en kropp är konvex innebär till vardags att den buktar utåt så att ytan inte har några fördjupningar. Samtidigt är konvexitet ett så viktigt begrepp att det är ett eget delområde inom matematiken kallat konvex geometri. Det används dessutom som ett viktigt hjälpmedel inom andra grenar av matematiken.

En viktig grundsten för den konvexa geometrin lades redan för drygt hundra år sedan med Brunn-Minkowski-satsen, eller Brunn-Minkowski-olikheten som den också kallas. De frågor som satsen gav upphov till har studerats alltsedan dess.

Det planerade projektet tar avstamp i en sats som kan ses som ett slags generalisering av den klassiska Brunn-Minkowski-satsen till rum som är definierade över de komplexa, i stället för de reella, talen. Den klassiska satsen ingår här som ett specialfall och har visat sig vara till stor nytta inom komplex geometri, dvs. geometrin hos komplexa mångfalder. Sådana mångfalder är både intressanta att studera för modern teoretisk fysik och inomvetenskapligt, för andra grenar av matematiken, som algebraisk geometri och talteori.

Projektet handlar dels om en vidareutveckling av teorin, dels om att finna vidare tillämpningar av satsen, som redan visat sig ha viktiga konsekvenser för bland annat algebraisk geometri. Slutligen gäller det att fortsätta utforska relationerna mellan konvexitet och komplex geometri, som med stor säkerhet kan utvidgas till andra aspekter än Brunn-Minkowskis olikhet.

Människans anatomi under lupp

Klas Modin får anslag av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst, för att rekrytera en forskare från utlandet till gruppen för beräkningsmatematik vid institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Människokroppens varierande anatomi beskrivs av ett nytt forskningsområde inom matematiken – beräkningsanatomin. Tillämpningsområdena är flera, men de främsta ligger inom medicinen.

De tredimensionella bilder som moderna magnetkameror tar på våra inre organ, till exempel hjärtat, behöver uttolkas. Men det är svårt att i detalj tyda en enskild bild. Betydligt lättare är det att jämföra olika hjärtbilder och söka efter avvikelser. En komplikation här är att storleken och formen på hjärtan kan se olika ut även hos friska personer. Så först gäller det att omskapa en bild av det undersökta hjärtat så att den i sina huvuddrag överensstämmer med en referensbild av ett friskt hjärta. Först då går det att jämföra detaljerna.

Beräkningsanatomin är inte där än. För trots att de första försöken att beskriva biologiska former matematiskt gjordes för nästan hundra år sedan, krävs det fortfarande bättre modeller och tekniker för att utveckla stabila och tillförlitliga metoder för beräkningsanatomi.

Den matematiska teori som beräkningsanatomin använder för att göra om bilder så de blir jämförbara, utnyttjar bland andra teorin för kurvor med minimal längd på krökta ytor. Denna teori är relaterad till strömningsmekanik och bygger på den berömda ryska matematikern Vladimir Arnolds banbrytande arbeten från 1960-talet. Förutom strömningsmekaniken planerar forskningsprojektet att utveckla beräkningsanatomin genom att använda sig av flera andra områden inom matematiken.

Ren matematik bakom de moderna fysikteorierna

Hjalmar Rosengren får anslag av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, till en postdoktoral tjänst, för att rekrytera en forskare från utlandet till institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Supersymmetriska teorier är en relativt ny typ av modeller för hur materiens minsta beståndsdelar samverkar. Med supersymmetrin kan vissa teoretiska problem inom elementarpartikelfysiken förklaras, fast bara genom att varje känd partikel ska ha en supersymmetrisk partner, vilket fördubblar antalet elementarpartiklar.

Ingen har ännu lyckats finna tecken på supersymmetri i naturen. Men den ingår som en viktig del i de flesta moderna försök att beskriva gravitationens verkan på mycket små avstånd. Ett exempel är supersträngteorier, som försöker förena den allmänna relativitetsteorin med kvantfysiken.

Supersymmetriska teorier är också särskilt intressanta ur matematisk synpunkt, vilket har lett till en hel del tillämpningar av modern fysik på rena matematiska områden som topologi och algebraisk geometri. Av särskilt intresse är identiteter för en ny klass av speciella funktioner som har kommit fram genom de supersymmetriska teorierna. Med en identitet avses här att två, ofta komplicerade funktioner är lika oavsett variablernas värden.

Det finns ett hundratal sådana identiteter för de speciella funktionerna men de är så pass invecklade att bara några få av dem har hittills bevisats matematiskt. Samtidigt kan de vara av vikt för fysiker när de till exempel vill kunna jämföra olika supersymmetriska modeller.

Projektet syftar till att studera matematiken bakom de speciella funktionerna och identiteterna genom att kombinera fysikernas verktyg och metoder med rigorös matematisk analys. Resultaten kommer att vara av intresse för både fysiker och matematiker.

Att beräkna lösningar till diofantiska ekvationer

Oscar Marmon, som disputerade i matematik vid Chalmers tekniska högskola 2010, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos lektor Morten S. Risager vid Köpenhamns universitet, Danmark.

Syftet med Oscar Marmons projekt är att utforska de så kallade diofantiska ekvationerna, det vill säga ekvationer där man söker heltalslösningar till polynom med heltalskoefficienter. Diofantiska ekvationer hör till matematikens äldsta; namnet syftar på den grekiske matematikern Diofantos verksam i Alexandria på 200-talet e.Kr.

Sedan dess har diofantiska ekvationer studerats av en rad berömda matematiker över tiderna, som Pierre de Fermat, Carl Friedrich Gauss och Leonhard Euler. Många av matematikens viktigaste områden har sprungit ur försöken att lösa dem. Fortfarande finns det dock en mängd frågor och olösta problem.

Den ryske matematikern Yuri Matiyasevich bevisade 1970 att det inte finns någon allmän algoritm för att avgöra huruvida en given diofantisk ekvation alls har en lösning. Men det går att finna klasser av ekvationer där detta är möjligt att bestämma, fast bara om ekvationerna uppfyller vissa villkor. En av uppgifterna för projektet är att utveckla metoder för att granska dessa villkor vidare. En annan uppgift är att undersöka flera specialfall av lösningar till de diofantiska ekvationerna.

Ekvationerna dyker också upp naturligt på de mest skilda områden av såväl ren som tillämpad matematik. Forskningsprojektet kommer att studera flera problem som direkt berör tillämpningar inom andra grenar av matematiken, som harmonisk analys och talteori.